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模糊集（一型模糊）
在经典的集合理论中，一个元素要么属于要么不属于这个集合。相比之下，模糊集则通过隶属度函数来评价一个元素对于一个集合的隶属程度。因此，模糊集是对经典集合的一般化。在模糊集理论中，经典的二价集（bivalent sets）被称作crisp sets。
模糊集通常先要划分论域U，再定义一个隶属度函数（membership function）来表示元素对U在[0, 1]上的映射。常用的隶属度函数有高斯隶属度函数，区间隶属度函数，三角隶属度函数，梯形隶属度函数。二型模糊
一型模糊通过隶属度函数来刻画对象的不确定性，而有时隶属度函数本身就是不确定的。所以二型模糊引入了一个次隶属度函数，来刻画隶属度函数的不确定性。根据对次隶属度的取值不同，二型模糊集又被分为了广义二型模糊集（General Type-2 Fuzzy Sets, GT2FS）和区间二型模糊集（Interval Type-2 Fuzzy Sets, IT2FS）。
GT2FS的隶属度函数可以表示为三维图像，其中第三维的值表示x在其二维域中的隶属度，这个区域叫做 footprint of uncertainty (FOU)。
区间二型
区间二型是二型模糊集的一种简化形式，其中将次隶属度函数值定义为了固定值，使得计算过程更加简单。也即是对应上图中第三维的值处处相等，如都为1。所以对于区间二型来说，第三维度就不包含什么信息了，因此，第三维度可以被忽略，只有FOU用来刻画一型模糊集的不确定信息，如下图所示。其中这个FOU区域可以被两个界限函数进行描述，其中每个界限函数都是一个一型模糊的隶属度函数。这两个界限函数分别称作 lower membership function (LMF) 和 upper membership function (UMF)。因此，区间二型模糊集也称作一阶不确定模糊集（first-order uncertainty fuzzy set），而广义二型模糊集被称作二阶不确定模糊集（second-order uncertainty fuzzy set）。
参考
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